Question

已知函數f（x）對于任意x，y∈R總有f（x）+f（y）=f（x+y）且當x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-1
①判斷f（x）奇偶性
②求證：f（x）在R上是減函數．
③求f（x）在[-2，4]上的最大值，最小值．

Answer 1

分析：①賦值x=y=0，可求得f（0）=0，再賦值y=-x即可判斷f（x）奇偶性；
②利用單調性的定義，令x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）后化積，判斷符號，即可證得f（x）在R上是減函數；
③利用②證得的“f（x）在R上是減函數”，f（1）=-1即可求得f（x）在[-2，4]上的最大值，最小值．

解答：解：①∵對于任意x，y∈R總有f（x）+f（y）=f（x+y），
∴令x=y=0，得f（0）=0，
再令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數；
②令x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵x＞0時，f（x）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在R上是減函數；
③由①②知，f（x）在是R上遞減的奇函數，又f（1）=-1，
∴當x∈[-2，4]時，f（x）_max=f（-2）=-f（2）=-[f（1）+f（1）]=-（-2）=2，
同理可求，當x∈[-2，4]時，f（x）_min=f（4）=2f（2）=-4．

點評：本題考查抽象函數及其應用，考查函數單調性、奇偶性的判斷與證明，考查轉化思想與運算能力，屬于中檔題．