Question

已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為4，側(cè)面與底面所成的二面角為60°，E、F分別是側(cè)棱PA、PD的中點．求：
（Ⅰ）直線BE與側(cè)棱PC所成的角的大��；
（Ⅱ）AC與截面BCFE所成的角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根據(jù)側(cè)面與底面所成的二面角為60°可得△PMN是等邊三角形；再設(shè)AC與MN的交點為O可得∠BEO是PC與BE所成的角；最后通過計算三角形的邊長即可求出直線BE與側(cè)棱PC所成的角的大小；
（Ⅱ）過O作OH⊥GN于H，先根據(jù)BC⊥MN，BC⊥PN證得BC⊥平面PMN；進而得到平面BCFE⊥平面PMN，可得OH⊥平面BCFE，進而分析出∠OCH是直線AC與平面BCFE所成的角，最后通過計算三角形的邊長即可求出結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）分別取AD、BC中點M、N，連接PM交EF于G，連接PN、GN、MN．
則PM⊥AD，MN⊥AD．∠PMN是側(cè)面與底面所成的二面角的平面角．
故∠PMN=60°，△PMN是等邊三角形．  …（2分）
設(shè)AC與MN的交點為O，連接OE，則OE∥PC，
∠BEO是PC與BE所成的角．                            …（4分）
∵PO⊥BD，AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，從而BO⊥OE，AB=4，
則OB=2，OE=，
tan∠BEO==，BE與PC所成的角為arctan；  …（6分）
（Ⅱ）過O作OH⊥GN于H，連接CH．
∵BC⊥MN，BC⊥PN，MN∩PN=N，
∴BC⊥平面PMN．      …（8分）
∴平面BCFE⊥平面PMN．
∴OH⊥平面BCFE．
∠OCH是直線AC與平面BCFE所成的角．…（10分）
在Rt△OCH中，OH=MG=1，OC=2，
sin∠OCH=．
因此AC與平面BCFE所成的角為arcsin．…（12分）
點評：本題主要考查線面角以及線線角的求法．一般在求異面直線所成角時，常用方法是通過做平行線把異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，再通過求三角形的邊長進而求出對應的角即可．