已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式
(1)當(dāng)m=-1時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值;
(2)當(dāng)m=1時(shí),設(shè)點(diǎn)A、B是函數(shù)y=f(x)(x∈[0,1])的圖象上任意不同的兩點(diǎn),求證:直線AB的斜率kAB<2.

(1)解:m=-1時(shí),
求導(dǎo)函數(shù),可得:f′(x)=
令f′(x)>0,可得-<x<0,令f′(x)<0,可得x>0,
∴x=0時(shí),函數(shù)取得最大值0;
(2)證明:當(dāng)m=1時(shí),
設(shè)點(diǎn)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),x1,x2∈[0,1],x1<x2
∴kAB<2,等價(jià)于,∴f(x2)-2x2<f(x1)-2x1
令h(x)=f(x)-2x=,由(1)知它在[0,1]上遞減,
∵x1,x2∈[0,1],x1<x2
∴h(x1)>h(x2
即f(x2)-2x2<f(x1)-2x1
綜上所述,當(dāng)m=1時(shí),直線AB的斜率kAB<2
分析:(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)定義域,結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,從而可確定函數(shù)的最值;
(I2)當(dāng)m=1時(shí),利用斜率的定義,構(gòu)造新函數(shù)得到函數(shù)在[0,1]上遞減,即可得到結(jié)論.
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,考查根據(jù)需要構(gòu)造新函數(shù),考查解決問(wèn)題的能力和分析問(wèn)題的能力,是一個(gè)中檔題.
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(2)討論函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性;
(3)若函數(shù)f(x)既有極大值,又有極小值,且當(dāng)0≤x≤4m時(shí),數(shù)學(xué)公式恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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(3)若函數(shù)f(x)既有極大值,又有極小值,且當(dāng)0≤x≤4m時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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