解:(1)m=2時,
,
f′(x)=x
2-4x+3,
函數(shù)在(0,0)處切線的斜率為f′(0)=3,
∴在(0,0)處切線方程為:3x-y=0.
(2)函數(shù)f(x)的定義域為R,
,
方程
的判別式△=4m
2-6m,
①當△=4m
2-6m≤0,即
時,f′(x)≥0對一切實數(shù)恒成立,
∴f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;
②當△=4m
2-6m>0,即
時,
方程
有兩不等實根,
,
,
當x∈(-∞,x
1)及(x
2,+∞)時,
f′(x)>0,∴f(x)單調(diào)遞增;
當x∈(x
1,x
2)時,
f′(x)<0,∴f(x)單調(diào)遞減.
綜上所述,當
時,
f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;
當
時,f(x)在
及
上單調(diào)遞增,
在
,
上單調(diào)遞減.
(3)由(2)知方程
有兩不等根,
△=4m
2-6m>0,即
,
令g(x)=
=
,
要使
對0≤x≤4m的實數(shù)恒成立,
只需g(x)
max≤0即可,
下面求g(x)在x∈[0,4m]上的最大值,
∵g′(x)=x
2-4mx+3m
2,令g′(x)=(x-m)(x-3m)=0,
則x=m,x=3m,
,
,
又
,
,
∴當x∈[0,4m]時,
,
∴
,
即m≤2,又
,
∴m的取值范圍為
.
分析:(1)m=2時,
,f′(x)=x
2-4x+3,由此能求出函數(shù)在(0,0)處切線方程.
(2)函數(shù)f(x)的定義域為R,
,方程
的判別式△=4m
2-6m,由此入手能夠分類討論函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性.
(3)由
有兩不等根,△=4m
2-6m>0,即
,令g(x)=
=
,由此能求出m的取值范圍.
點評:本題考查曲線的切線方程的求法,考查函數(shù)的單調(diào)性的求法,考查實數(shù)的取值范圍的求法,考查導數(shù)的性質(zhì)及其應用.解題時要認真審題,仔細解答,注意分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想的應用.