Question

已知函數(shù)．
（1）當m=2時，求曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線方程；
（2）討論函數(shù)y=f（x）的單調性；
（3）若函數(shù)f（x）既有極大值，又有極小值，且當0≤x≤4m時，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）m=2時，，
f′（x）=x²-4x+3，
函數(shù)在（0，0）處切線的斜率為f′（0）=3，
∴在（0，0）處切線方程為：3x-y=0．
（2）函數(shù)f（x）的定義域為R，
，
方程的判別式△=4m²-6m，
①當△=4m²-6m≤0，即時，f′（x）≥0對一切實數(shù)恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增；
②當△=4m²-6m＞0，即時，
方程有兩不等實根，
，，
當x∈（-∞，x₁）及（x₂，+∞）時，
f′（x）＞0，∴f（x）單調遞增；
當x∈（x₁，x₂）時，
f′（x）＜0，∴f（x）單調遞減．
綜上所述，當時，
f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增；
當時，f（x）在及上單調遞增，
在，上單調遞減．
（3）由（2）知方程有兩不等根，
△=4m²-6m＞0，即，
令g（x）==，
要使對0≤x≤4m的實數(shù)恒成立，
只需g（x）_max≤0即可，
下面求g（x）在x∈[0，4m]上的最大值，
∵g′（x）=x²-4mx+3m²，令g′（x）=（x-m）（x-3m）=0，
則x=m，x=3m，，，
又，，
∴當x∈[0，4m]時，，
∴，
即m≤2，又，
∴m的取值范圍為．
分析：（1）m=2時，，f′（x）=x²-4x+3，由此能求出函數(shù)在（0，0）處切線方程．
（2）函數(shù)f（x）的定義域為R，，方程的判別式△=4m²-6m，由此入手能夠分類討論函數(shù)y=f（x）的單調性．
（3）由有兩不等根，△=4m²-6m＞0，即，令g（x）==，由此能求出m的取值范圍．
點評：本題考查曲線的切線方程的求法，考查函數(shù)的單調性的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查導數(shù)的性質及其應用．解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想和等價轉化思想的應用．