Question

20．已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{AF}=-4\overrightarrow{BF}$，求直線AB的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)為C，求四邊形OACB面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：設(shè)直線AB的方程為AB方程為y=k（x-1）．，代入拋物線方程，由韋達(dá)定理、$\overrightarrow{AF}=-4\overrightarrow{BF}$，即可求得直線AB的斜率；
（Ⅱ）四邊形OACB面積S_OACB=2S_AOB=$\frac{1}{2}$丨OF丨•丨y₁-y₂丨，可得當(dāng)m=0時(shí)，四邊形OACB的面積最小，最小值為4．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{AF}=-4\overrightarrow{BF}$，∴直線AB的斜率一定存在，設(shè)為k，AB方程為y=k（x-1）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$消y知：k²x²-（2k²+4）x+k²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁•x₂=1
∵$\overrightarrow{AF}=-4\overrightarrow{BF}$，∴x₁=5-4x₂，
∴x₁•x₂=（5-4x₂）•x₂=1，∴x₂=$\frac{1}{4}$或x₂=1（舎）
∴x₁=4，
∴x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=$\frac{17}{4}$，∴k=±$\frac{4}{3}$．
∴直線AB的方程為y=$±\frac{4}{3}$（x-1）；
（Ⅱ）∵點(diǎn)C與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對稱，∴M為OC中點(diǎn)
∴點(diǎn)C與點(diǎn)O到直線AB的距離相等
∴四邊形OACB面積S_OACB=2S_AOB=$\frac{1}{2}$丨OF丨•丨y₁-y₂丨
設(shè)直線AB方程為：x=my+1
由直線與拋物線聯(lián)立，消x整理得：y²-4my-4=0，∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，∴${S_{四邊形OACB}}=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=4\sqrt{{m^2}+1}≥4$
即當(dāng)m=0時(shí)，四邊形OACB的面積最小為4．

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)坐標(biāo)，三角形面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．