Question

10．已知函數(shù)f（x）=x³+$\frac{5}{2}$x²+ax+b（a，b為常數(shù)），其圖象是曲線C．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若存在唯一的實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）=x₀與f′（x₀）=0同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可；
（2）由于存在唯一的實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）=x₀與f′（x₀）=0同時(shí)成立，則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}+\frac{5}{2}{x}^{2}+（a-1）x+b=0}\\{3{x}^{2}+5x+a=0}\end{array}\right.$存在唯一的實(shí)數(shù)根x₀，即b=2x³+$\frac{5}{2}$x²+x存在唯一的實(shí)數(shù)根x₀，就把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題

解答 解：（1）當(dāng)a=-2時(shí)，函數(shù)f（x）=x³+$\frac{5}{2}$x²-2x+b
則f′（x）=3x²+5x-2=（3x-1）（x+2）
令f′（x）＜0，解得-2＜x＜$\frac{1}{3}$，
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-2，$\frac{1}{3}$）；
（2）函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為由于存在唯一的實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）=x₀與f′（x₀）=0同時(shí)成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}+\frac{5}{2}{x}^{2}+（a-1）x+b=0}\\{3{x}^{2}+5x+a=0}\end{array}\right.$即x³+$\frac{5}{2}$x²+（-3x²-5x-1）x+b=0存在唯一的實(shí)數(shù)根x₀，
故b=2x³+$\frac{5}{2}$x²+x存在唯一的實(shí)數(shù)根x₀，
令y=2x³+$\frac{5}{2}$x²+x，則y′=6x²+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=-$\frac{1}{2}$或x=-$\frac{1}{3}$，
則函數(shù)y=2x³+$\frac{5}{2}$x²+x在（-∞，-$\frac{1}{2}$），（-$\frac{1}{3}$，+∞）上是增函數(shù)，在（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{3}$）上是減函數(shù)，
由于x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，y=-$\frac{1}{8}$；x=-$\frac{1}{3}$時(shí)，y=-$\frac{7}{54}$；
故實(shí)數(shù)b的取值范圍為：（-∞，-$\frac{7}{54}$）∪（-$\frac{1}{8}$，+∞）；

點(diǎn)評(píng) 本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)還考查了方程根的問題，一般要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來解決．