Question

16．已知函數f（x）=x+$\frac{4}{x}$
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）證明f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析 （1）利用奇偶性的定于判斷即可．
（2）利用定義證明f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是增函數．

解答 解：（1）函數f（x）=x+$\frac{4}{x}$，其函數的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）關于原點對稱；
則f（-x）=-x+$\frac{4}{-x}$=-（x+$\frac{4}{x}$）=-f（x），
故得函數f（x）=x+$\frac{4}{x}$是奇函數．
（2）設任意的x₁，x₂滿足2＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=${x}_{1}-{x}_{2}+\frac{4}{{x}_{1}}-\frac{4}{{x}_{2}}$
=$-（{x}_{2}-{x}_{1}）+\frac{4（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{2}{x}_{1}}$=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（4-{x}_{1}{x}_{2}）}{{x}_{2}{x}_{1}}$；
∵2＜x₁＜x₂，
∴4-x₂x₁＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂）．
故得f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是增函數．

點評 本題考查了函數的奇偶性的證明和單調性的證明．屬于基礎題．