Question

16．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）證明f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用奇偶性的定于判斷即可．
（2）利用定義證明f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$，其函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
則f（-x）=-x+$\frac{4}{-x}$=-（x+$\frac{4}{x}$）=-f（x），
故得函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$是奇函數(shù)．
（2）設(shè)任意的x₁，x₂滿足2＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=${x}_{1}-{x}_{2}+\frac{4}{{x}_{1}}-\frac{4}{{x}_{2}}$
=$-（{x}_{2}-{x}_{1}）+\frac{4（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{2}{x}_{1}}$=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（4-{x}_{1}{x}_{2}）}{{x}_{2}{x}_{1}}$；
∵2＜x₁＜x₂，
∴4-x₂x₁＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂）．
故得f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性的證明和單調(diào)性的證明．屬于基礎(chǔ)題．