Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱A A₁⊥底面ABC，AB⊥BC；
（Ⅰ）求證：平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁．
（Ⅱ）若AA₁=AC=a，直線AC與平面A₁BC所成的角為

π

6

，求AB的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，可證BC⊥平面AA₁BB₁，由已知結(jié)合線面垂直的判定即可得到證明；
（Ⅱ）由平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，只要過點A在平面AA₁BB₁內(nèi)作AD⊥A₁B，連結(jié)CD，即可得到直線AC與平面A₁BC所成的角，然后結(jié)合已知條件通過解直角三角形得答案．

解答：（Ⅰ）證明：如圖，
已知AA₁⊥平面ABC，BC?面ABC，∴AA₁⊥BC，
又已知AB⊥BC，且AB∩AA₁=A，∴BC⊥平面AA₁BB₁，
而BC?面A₁BC，∴平面A₁BC⊥面A₁ABB₁；
（Ⅱ）解：過點A在平面AA₁BB₁內(nèi)作AD⊥A₁B，垂足是D，連結(jié)CD，
∵平面A₁BC⊥面A₁ABB₁，且面A₁BC∩面A₁ABB₁=A₁B，
∴AD⊥平面A₁BC，則CD為CA在平面A₁BC內(nèi)的射影，
∴∠ACD為直線AC與平面A₁BC所成角．
即∠ACD=60°，
∵AC=a，∴AD=

a

2

，
在Rt△A₁AD內(nèi)，A1A=a，AD=

a

2

，
∴∠AA1B=

π

6

，
在Rt△AA₁B內(nèi)，AB=atan

π

6

=

3

3

a．

點評：本題考查了平面與平面垂直的判定，考查了直線與平面所成的角，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．