Question

14．已知b＞a＞0，ab=2，則$\frac{a^2+b^2}{a-b}$的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-4]
• B． （-∞，-4）
• C． （-∞，-2]
• D． （-∞，-2）

Answer 1

分析 b＞a＞0，ab=2，可得b＞$\sqrt{2}$＞a＞0．則$\frac{a^2+b^2}{a-b}$=$\frac{^{4}+4}{2b-^{3}}$=f（b），利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．

解答 解：∵b＞a＞0，ab=2，
∴b＞$\sqrt{2}$＞a＞0．
則$\frac{a^2+b^2}{a-b}$=$\frac{^{4}+4}{2b-^{3}}$=f（b），
f′（b）=$\frac{-^{6}+6^{4}+12^{2}-8}{（2b-^{3}）^{2}}$=$\frac{-（^{2}+2）[^{2}-（4+2\sqrt{3}）][^{2}-（4-2\sqrt{3}）]}{（2b-^{3}）^{2}}$，
可得：b∈$（\sqrt{2}，\sqrt{3}+1）$時，函數f（b）單調遞增；b∈$（\sqrt{3}+1，+∞）$時，函數f（b）單調遞減．
因此f（b）在b=$\sqrt{3}$+1$（a=\sqrt{3}-1）$時取得最大值，
∴f（b）≤$f（\sqrt{3}+1）$=-4．
∴$\frac{a^2+b^2}{a-b}$的取值范圍是（-∞，-4]．
故選：A．

點評 本題考查了利用導數研究其單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．