Question

已知函數(shù)f（x）=

a

a2-1

•（a^x-a^-x）（a＞0且a≠1），討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）=

a

a2-1

（ax2-ax1）（1+

1

ax1•ax2

），通過討論a的范圍，從而確定出函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：f（x）的定義域?yàn)镽，設(shè)x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂
則f（x₂）-f（x₁）=

a

a2-1

（ax2-ax1）（1+

1

ax1•ax2

），
由于a＞0，且a≠1，∴1+

1

ax1•ax2

＞0，
①0＜a＜1時(shí)，ax2-ax1＜0，a²-1＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是增函數(shù)，
②a＞1時(shí)，ax2-ax1＞0，a²-1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是增函數(shù)，
綜上：函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了單調(diào)性的證明問題，考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．