Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-x-

a

x

，a∈R．
（1）若f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求f′（x）=

-x2+x+a

x2

，由已知條件知-x²+x+a≥0在[1，2]上恒成立，即a≥x²-x，所以求[1，2]上的（x²-x）_max，讓a≥（x²-x）_max即可；
（2）討論f（x）的單調(diào)性，即判斷f′（x）≥0，或f′（x）≤0，即判斷-x²+x+a的符號(hào)．當(dāng)1+4a≤0時(shí)，可以得到f′（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．當(dāng)1+4a＞0時(shí)，方程-x²+x+a=0有兩實(shí)根x1=

1- 1+4a

2

，x2=

1+ 1+4a

2

，所以要討論x₁和0的關(guān)系，從而找出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，和減區(qū)間．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

-1+

a

x2

=

-x2+x+a

x2

；
若f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，則：
-x²+x+a≥0在[1，2]上恒成立，即a≥x²-x恒成立；
x2-x=(x-

1

2

)2-

1

4

，∴x=2時(shí)，x²-x取最大值2；
∴a≥2；
（2）f′（x）=

-x2+x+a

x2

，△=1+4a≤0，即a≤-

1

4

時(shí)，-x²+x+a≤0，即f′（x）≤0；
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
△=1+4a＞0，即a＞-

1

4

時(shí)，方程-x²+x+a=0有兩個(gè)實(shí)根x1=

1- 1+4a

2

，x2=

1+ 1+4a

2

；
①若1≤

1+4a

即a≥0時(shí)，x₁≤0，∴x∈（0，x₂）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（x₂，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞增，在[x₂，+∞）上單調(diào)遞減；
②若1＞

1+4a

，即-

1

4

＜a＜0時(shí)，x∈（0，x₁），（x₂，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（x₁，x₂）時(shí)，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）時(shí)單調(diào)遞減，在（x₁，x₂）上時(shí)單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系，一元二次不等式的解和一元二次方程的實(shí)根與判別式△的關(guān)系，以及一元二次不等式解的情況．