Question

8．已知AB為圓O：（x-1）²+y²=1的直徑，點P為直線x-y+1=0上任意一點，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值為（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 運用向量加減運算和數(shù)量積的性質，可得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OB}$）=|$\overrightarrow{PO}$|²-r²，即為d²-r²，運用點到直線的距離公式，可得d的最小值，進而得到結論．

解答 解：由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OB}$）
=$\overrightarrow{PO}$²+$\overrightarrow{PO}$•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{PO}$|²-r²，
即為d²-r²，其中d為圓外點到圓心的距離，r為半徑，
因此當d取最小值時，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值最小，
可知d的最小值為$\frac{|1-0+1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
故$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值為2-1=1．
故選：A．

點評 本題考查直線與圓的位置關系以及向量的數(shù)量積的運算，注意運用向量的平方即為模的平方，以及點到直線的距離公式，屬于中檔題．