如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形且側棱垂直于底面，側棱長是
3
，D是AC的中點．
（1）求證：平面A1BD⊥平面A1ACC1；
（2）求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值．
考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角
專題：空間位置關系與距離
分析：（1）由已知條件得AA1⊥底面ABC，BD⊥平面A1ACC1，由此能證明平面A1BD⊥平面A1ACC1．
（2）作AM⊥A1D，設AB1與A1B相交于點P，連接MP，則∠APM就是直線A1B與平面A1BD所成的角，由此能求出直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值．
解答： （1）證明：∵正三棱住ABC-A1B1C1，∴AA1⊥底面ABC，
又∵BD⊥AC，A1A∩AC=A，∴BD⊥平面A1ACC1，
又∵BD?平面A1BD，
∴平面A1BD⊥平面A1ACC1…6分
（2）解：作AM⊥A1D，M為垂足，
由（1）知AM⊥平面A1DB，設AB1與A1B相交于點P，
連接MP，則∠APM就是直線A1B與平面A1BD所成的角，…9分
∵AA1=
3
，AD=1，∴在Rt△AA1D中，
∠A1DA=
π
3
，∴AM=1×sin60°=
3
2
，AP=
1
2
AB1=
7
2
，
∴sin∠APM=
AM
AP
=
3
2
7
2
=
21
7
．
直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值為
21
7
．…12分．
點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線性與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（1+x）lnx．
（Ⅰ）判斷f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性并證明你的結論；
（Ⅱ）設g（x）=
f(x)
a(1-x)
（a≠0），若對一切的x∈（0，1），不等式g（x）＜-2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，點P（1，
2
3
3
）是橢圓上的一點，且|PF1|+|PF2|=2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l1，l2分別過點F1，F(xiàn)2，且l1⊥l2，直線l1交橢圓C于D、E兩點，直線l2交橢圓C于M、N兩點，求四邊形DMEN面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在股票市場上，投資者常參考股價（每一股的價格）的某條平滑均線的變化情況來決定買入或賣出股票．股民老張在研究股票的走勢圖時，發(fā)現(xiàn)一只股票的均線近期走得很有特點：如果按如圖所示的方式建立平面直角坐標系xoy，則股價y（元）和時間x的關系在ABC段可近似地用解析式y(tǒng)=asin（ωx+φ）+b（0＜φ＜π）來描述，從C點走到今天的D點，是震蕩筑底階段，而今天出現(xiàn)了明顯的筑底結束的標志，且D點和C點正好關于直線l：x=34對稱．老張預計這只股票未來的走勢如圖中虛線所示，這里DE段與ABC段關于直線l對稱，EF段是股價延續(xù)DE段的趨勢（規(guī)律）走到這波上升行情的最高點F．現(xiàn)在老張決定取點A（0，22），點B（12，19），點D（44，16）來確定解析式中的常數(shù)a，b，ω，φ，并且求得ω=
π
72
．
（1）請你幫老張算出a，b，φ，并回答股價什么時候見頂（即求F點的橫坐標）
（2）老張如能在今天以D點處的價格買入該股票3000股，到見頂處F點的價格全部賣出，不計其它費用，這次操作他能賺多少元？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，過圓x2+y2=1上的動點M作y軸的垂線且交y軸于點N，點Q滿足：
OQ
=2
OM
-
ON
．
（1）求點Q的軌跡方程C；
（2）設曲線C分別與x，y軸正半軸交于A，B兩點，直線y=kx（k＞0）與曲線C交于E，F(xiàn)兩點，與線段AB交于點D，
ED
=6
DF
，求k值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，B=45°，AC=
10
，cosC=
2
5
5
．
（Ⅰ）求sinA的值和邊AB的長；
（Ⅱ）設AB的中點為D，求中線CD的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=
xlnx(0＜x＜1)
lnx
x
(x≥1)
，則函數(shù)的最大值與最小值的和等于
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-
x2
2
+x在區(qū)間[m，n]上的值域是[3m，3n]，則m-n=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，|ϕ|＜
π
2
）的圖象如圖所示，為了得到y(tǒng)=sinωx的圖象，只需把y=f（x）的圖象上所有點向右平移
 
 個單位長度．

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