Question

已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量

m

=（a+c，b-a），

n

=（a-c，b），且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若2sin²

A

2

+2sin2

B

2

=1，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點：三角形的形狀判斷,數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得c²=a²+b²-ab，再利用余弦定理可得cosC=

1

2

，從而可得角C的大��；
（Ⅱ）利用降冪公式可得cosA+cosB=1，而C=

π

3

，從而可得cosA+cos(

2π

3

-A)=1，利用三角恒等變換可得sin(A+

π

6

)=1，從而可得A，繼而可判斷△ABC的形狀．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得

m

•

n

=(a+c，b-a)(a-c，b)=a2-c2+b2-ab=0，
即c²=a²+b²-ab…（3分）
由余弦定理得   cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，∵0＜C＜π，∴C=

π

3

…（6分）
（Ⅱ）∵2sin2

A

2

+2sin2

B

2

=1，∴1-cosA+1-cosB=1…（7分）
∴cosA+cosB=1，cosA+cos(

2π

3

-A)=1，…（9分）
∴cosA+cos

2π

3

cosA+sin

2π

3

sinA=1，∴

3

2

sinA+

1

2

cosA=1，
∴sin(A+

π

6

)=1，∵0＜A＜π，∴A=

π

3

，B=

π

3

…（11分）
∴△ABC為等邊三角形．   …（12分）

點評：本題考查△ABC的形狀的判斷，著重考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，余弦定理的應(yīng)用及三角恒等變換的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．