Question

【題目】在正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為.

（1）求證：平面平面；

（2）求直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值；

（3）設(shè)為截面內(nèi)-點(diǎn)（不包括邊界），求到面，面，面的距離平方和的最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）（3）

【解析】

（1）利用在正方體的幾何性質(zhì)，得到，通過(guò)線(xiàn)面垂直和面面垂直的判定定理證明.

（2）根據(jù)和平面平面，知是在平面上的射影，即為直線(xiàn)與平面所成的角，然后在中求解.

（3）如圖所示從向面，面，面引垂線(xiàn)，構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)方體，設(shè)到面，面，面的距離分別為x，y，z，，即長(zhǎng)方體體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的平方，當(dāng)且僅當(dāng)平面時(shí)，最小，然后用等體積法求解.

（1）如圖所示：

在正方體中且，

所以平面 ，

又因?yàn)?/span>平面，

所以平面平面.

（2）因?yàn)?/span>，

由（1）知平面平面，

所以是在平面上的射影，

所以即為直線(xiàn)與平面所成的角，

在中，

所以.

（3）如圖所示從向面，面，面引垂線(xiàn)，

構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)方體，設(shè)到面，面，面的距離分別為x，y，z，，即長(zhǎng)方體體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的平方，

當(dāng)且僅當(dāng)平面時(shí)，最小，

又因?yàn)?/span>，

即，

，

.