Question

2．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，平面PBC⊥平面ABCD．
（1）求證：AC⊥PB；
（2）若PB=PC=$\sqrt{2}$，問在側(cè)棱PB上是否存在一點M，使得二面角M-AD-B的余弦值為$\frac{{5\sqrt{3}}}{9}$？若存在，求出$\frac{PM}{PB}$的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點E，連結(jié)CE，推導(dǎo)出四邊形AECD是正方形，從而CE⊥AB，再求出AC⊥CB，由此能證明AC⊥PB．
（2）設(shè)BC的中點為F，連結(jié)PF，分別以FE、FB、FP所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）取AB的中點E，連結(jié)CE，
∵AB∥CD，DC=$\frac{1}{2}$AB，∴DC$\underset{∥}{=}$AE，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
又∵∠ADC=90°，∴四邊形AECD是正方形，∴CE⊥AB，
∴△CAB是等腰三角開有，且CA=CB=2，AB=2$\sqrt{2}$，
∴AC²+CB²=AB²，∴AC⊥CB，
又∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，
∴AC⊥平面PBC，
又PB?平面PBC，∴AC⊥PB．
解：（2）設(shè)BC的中點為F，連結(jié)PF，
∵PB=PC，∴PF=BC，
∴PF⊥平面ABCD，∴PF⊥AC，
連結(jié)EF，則EF∥AC，∴PF⊥FE，EF⊥BC，
分別以FE、FB、FP所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
∵AD=PB=PC=$\sqrt{2}$，則F（0，0，0），A（2，-1，0），
B（0，1，0），D（1，-2，0），P（0，0，1），
∴$\overrightarrow{PB}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{AD}$=（-1，-1，0），$\overrightarrow{FP}$=（0，0，1），
若在線段PB上存在一點M，設(shè)$\overrightarrow{PM}$=$λ\overrightarrow{PB}$，（0≤λ＜1），
∵$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{FM}-\overrightarrow{FP}$，∴$\overrightarrow{FM}=λ\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{FP}$=λ（0，1，-1）+（0，0，1）=（0，λ，1-λ），
∴M（0，λ，1-λ），$\overrightarrow{MD}=（1，-2-λ，-1+λ）$，
設(shè)平面MAD的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MD}=x-（2+λ）y-（1-λ）z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，$\frac{3+λ}{1-λ}$），
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
∵二面角M-AD-B的余弦值為$\frac{{5\sqrt{3}}}{9}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|\frac{3+λ}{1-λ}|}{\sqrt{1+1+（\frac{3+λ}{1-λ}）^{2}}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，
解得$λ=\frac{1}{3}$或λ=2（舍）．
∴存在點M，使得二面角M-AD-B的余弦值為$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，且$\frac{PM}{PB}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查滿足條件的點的位置的確定，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．