Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-$\frac{2}{m}$|+|2x+m|（m＞0）．
（Ⅰ）證明：f（x）≥2$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）若當(dāng)m=2時，關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式f（x）≥t²-$\frac{1}{2}$t恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用絕對值三角不等式，結(jié)合基本不等式證明：f（x）≥2$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）求出f（x）_min=3，若?x∈R，$f（x）≥{t^2}-\frac{1}{2}t$恒成立，則只需$f{（x）_{min}}=3≥{t^2}-\frac{1}{2}t⇒2{t^2}-t-6≤0⇒-\frac{3}{2}≤t≤2$．

解答 （Ⅰ）證明：∵m＞0，$f（x）=|{2x-\frac{2}{m}}|+|{2x+m}|≥|{\frac{2}{m}+m}|=\frac{2}{m}+m≥2\sqrt{2}$，
當(dāng)$\frac{2}{m}=m$即$m=\sqrt{2}$時取“=”號…（5分）
（Ⅱ）解：當(dāng)m=2時，f（x）=|2x-1|+|2x+2|≥|（2x-1）-（2x+2）|=3
則f（x）_min=3，若?x∈R，$f（x）≥{t^2}-\frac{1}{2}t$恒成立，
則只需$f{（x）_{min}}=3≥{t^2}-\frac{1}{2}t⇒2{t^2}-t-6≤0⇒-\frac{3}{2}≤t≤2$，
綜上所述實(shí)數(shù)t的取值范圍是$-\frac{3}{2}≤t≤2$．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查絕對值三角不等式，考查基本不等式的運(yùn)用，考查恒成立問題，屬于中檔題．