Question

如圖，已知三棱錐O-ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；
（2）求直線BE和平面ABC的所成角的正弦值．

Answer 1

解：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OA分別為X、Y、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…（3分）
∴，
∴COS＜＞==- …（5分）
所以異面直線BE與AC所成角的余弦為…（6分）
（2）設(shè)平面ABC的法向量為 則
知
知取，…（8分）
則…（10分）
故BE和平面ABC的所成角的正弦值為…（12分）
分析：根據(jù)題中的條件可建立以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OA分別為X、Y、Z軸的空間直角坐標(biāo)系然后利用空間向量進(jìn)行求解：
（1）根據(jù)建立的空間直角坐標(biāo)系求出然后再利用向量的夾角公式cos=求出cos＜＞然后根據(jù)cos＜＞≥0則異面直線BE與AC所成角即為＜＞，若cos＜＞＜0則異面直線BE與AC所成角即為π-＜＞進(jìn)而可求出異面直線BE與AC所成角的余弦值．
（2）由（1）求出和平面ABC的一個(gè)法向量然后再利用向量的夾角公式cos=求出cos＜，＞再根據(jù)若cos＜，＞≥0則直線BE和平面ABC的所成角為-＜，＞，若cos＜，＞＜0則直線BE和平面ABC的所成角為＜，＞-然后再根據(jù)誘導(dǎo)公式和cos＜，＞的值即可求出直線BE和平面ABC的所成角的正弦值．
點(diǎn)評：本題主要考察了空間中異面直線所成的角和直線與平面所成的角，屬立體幾何中的常考題型，較難．解題的關(guān)鍵是首先正確的建立空間直角坐標(biāo)系然后可將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為所對應(yīng)的向量的夾角或其補(bǔ)角而對于利用向量法求線面角關(guān)鍵是正確求解平面的一個(gè)法向量！