Question

7．已知f（x）=log_a（a^-x+1）+bx（a＞0，a≠1）是偶函數(shù)，則（　�。�

• A． b=$\frac{1}{2}$且f（a）＞f（$\frac{1}{a}$）
• B． b=-$\frac{1}{2}$且f（a）＜f（$\frac{1}{a}$）
• C． b=$\frac{1}{2}$且f（a+$\frac{1}{a}$）＞f（$\frac{1}$）
• D． b=-$\frac{1}{2}$且f（a+$\frac{1}{a}$）＜f（$\frac{1}$）

Answer 1

分析 利用函數(shù)的偶函數(shù)，求出b，確定函數(shù)單調(diào)遞增，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=log_a（a^-x+1）+bx（a＞0，a≠1）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），即log_a（a^x+1）-bx=log_a（a^-x+1）+bx，
∴l(xiāng)og_a（a^x+1）-bx=log_a（a^x+1）+（b-1）x，
∴-b=b-1，∴b=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=log_a（a^-x+1）+$\frac{1}{2}$x，函數(shù)為增函數(shù)，
∵a+$\frac{1}{a}$＞2=$\frac{1}$，∴f（a+$\frac{1}{a}$）＞f（$\frac{1}$）．
故選C．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．