Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且 S_n=n²-4n+4．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

an

2n

，數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：

1

4

≤Tn＜1．

Answer 1

分析：（1）根據a_n=S_n-S_n-1求通項公式，然后驗證a₁=S₁=1，不符合上式，因此數列{a_n}是分段數列；
（2）先寫出數列{b_n}的通項公式，應用錯位相減法，求出T_n．

解答：解：（1）當n=1時，a₁=S₁=1．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-4n+4-[（n-1）²-4（n-1）+4]=2n-5
∵a₁=1不適合上式，
∴an=

1 n=1 2n-5 n≥2

（2）證明：∵bn=

an

2n

=

1 2  &，n=1 2n-5 2n ，n≥2

．
當n=1時，T1=

1

2

，
當n≥2時，Tn=

1

2

+

-1

22

+

1

23

+…+

2n-5

2n

，①

1

2

Tn=

1

22

+

-1

23

+

1

24

+…+

2n-7

2n

+

2n-5

2n+1

．②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

-

2

22

+2(

1

23

+…+

1

2n

)-

2n-5

2n+1

=

1

2

(1-

1

2n-2

)-

2n-5

2n+1

得Tn=1-

2n-1

2n

(n≥2)，
此式當n=1時也適合．
∴Tn=1-

2n-1

2n

(n∈N^*）．
∵

2n-1

2n

＞0(n∈N*)，
∴T_n＜1．
當n≥2時，Tn+1-Tn=(1-

2n+1

2n+1

)-(1-

2n-1

2n

)=

2n-3

2n+1

＞0，
∴T_n＜T_n+1（n≥2）．
∵T1=

1

2

，T2=1-

3

4

=

1

4

，
∴T₂＜T₁．
故T_n≥T₂，即Tn≥

1

4

(n∈N*)．
綜上，

1

4

≤Tn＜1(n∈N*)．

點評：本題主要考查了數列通項公式以及數列的前n項和的求法，對于等差數列與等比數列乘積形式的數列，一般采取錯位相減的方法求數列的前n項和，這種方法要熟練掌握．體現了分類討論的數學思想方法，考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力和運算能力，屬中檔題．