Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為 x=-

1

4

，過點(diǎn)M（0，-2）作拋物線的切線MA，切點(diǎn)為A（異于點(diǎn)O）．直線l過點(diǎn)M與拋物線交于兩點(diǎn)B，C，與直線OA交于點(diǎn)N．
（1）求拋物線的方程；
（2）試問：

MN

MB

+

MN

MC

的值是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由拋物線的準(zhǔn)線方程可得p，進(jìn)而得到拋物線方程；
（2）求出函數(shù)y=-

x

的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，以及切線方程，聯(lián)立切線方程和拋物線方程求得切點(diǎn)A，進(jìn)而直線OA的方程，設(shè)出直線BC的方程，聯(lián)立拋物線方程運(yùn)用韋達(dá)定理，求出N的坐標(biāo)，代入所求式子化簡即可得到定值2．

解答： 解：（1）由題設(shè)知，-

p

2

=-

1

4

，即p=

1

2

，
所以拋物線的方程為y²=x；
（2）因?yàn)楹瘮?shù)y=-

x

的導(dǎo)函數(shù)為y′=-

1

2 x

，
設(shè)A（x₀，y₀），則直線MA的方程為y-y0=-

1

2 x0

(x-x0)，
因?yàn)辄c(diǎn)M（0，-2）在直線MA上，所以-2-y₀=-

1

2 x0

•（-x₀）．
聯(lián)立

y0=-2- 1 2 x0 y02=x0

，解得A（16，-4），
所以直線OA的方程為y=-

1

4

x． 
設(shè)直線BC方程為y=kx-2，
由

y2=x y=kx-2

，得k²x²-（4k+1）x+4=0，
所以xB+xC=

4k+1

k2

，xBxC=

4

k2

．
由

y=- 1 4 x y=kx-2

，得xN=

8

4k+1

．
所以

MN

MB

+

MN

MC

=

xN

xB

+

xN

xC

=xN×

xB+xC

xBxC

=

8

4k+1

×

4k+1 k2

4 k2

=

8

4k+1

×

4k+1

4

=2，
故

MN

MB

+

MN

MC

的為定值2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．