Question

【題目】在直角坐標系中，，動點滿足（且）.

（1）求動點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；

（2）若，點為動點的軌跡曲線上的任意一點，過點作圓：的切線，切點為.試探究平面內是否存在定點，使為定值，若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）存在點或

【解析】

試題分析：（1）設，（且），化簡可得動點的軌跡方程.（2）由（1）當時，動點的軌跡方程為：，設，

,假設在平面內存在點使得（其中為正常數）

化簡，整理可得對于任意滿足的恒成立進而求出，即可求出結果.

試題解析：（1）設，（且）

化簡得動點的軌跡方程為：

表示以為圓心，為半徑的圓.

（2）由（1）當時，動點的軌跡方程為：，設

假設在平面內存在點使得（其中為正常數）

化簡得：

又

對于任意滿足的恒成立

解得或

∴存在點或滿足題意