Question

（2013•綿陽二模）設函數(shù)y=f（x）滿足：對任意的實數(shù)x∈R，有f（sinx）=-cos2x+cos²x+2sinx-3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f(x)=2a|x-

1

2

|有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）配湊法：f（sinx）=2sin²x-1+1-sin²x+2sinx-3=sin²x+2sinx-3，由此可得f（x）；
（Ⅱ）先驗證當x=

1

2

時方程f(x)=2a|x-

1

2

|是否有解，再把方程化為2a=

f(x)

|x- 1 2 |

，此時只需求出

f(x)

|x- 1 2 |

的值域即可，分類討論：①當-1≤x＜

1

2

時，②當

1

2

＜x≤1時，可求出其值域．

解答：解：（Ⅰ）f（sinx）=2sin²x-1+1-sin²x+2sinx-3=sin²x+2sinx-3，
所以f（x）=x²+2x-3（-1≤x≤1）．
（Ⅱ）①當x=

1

2

時，f(

1

2

)≠0，不成立．
②當-1≤x＜

1

2

時，x-

1

2

＜0，
令t=

1

2

-x，則x=

1

2

-t，0＜t≤

3

2

，2a=

( 1 2 -t)2+2( 1 2 -t)-3

t

=t-

7

4t

-3，
因為函數(shù)h(t)=t-

7

4t

-3在(0，

3

2

]上單增，所以2a≤h(

3

2

)=-

8

3

⇒a≤-

4

3

．
③當

1

2

＜x≤1時，x-

1

2

＞0，
令t=x-

1

2

，則x=

1

2

+t，0＜t≤

1

2

，2a=

( 1 2 +t)2+2( 1 2 +t)-3

t

=t-

7

4t

+3，
因為函數(shù)g（t）=t-

7

4t

+3在(0，

1

2

]上單增，所以2a≤g（

1

2

）=0⇒a≤0．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]．

點評：本題考查函數(shù)解析式的求解及函數(shù)零點問題，考查學生分析問題解決問題的能力．