Question

6．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}（0≤{a}_{n}＜\frac{1}{2}）}\\{2{a}_{n}-1（\frac{1}{2}≤{a}_{n}＜1）}\end{array}\right.$，若a₁=$\frac{6}{7}$，則a₂₀₁₆=$\frac{3}{7}$．

Answer 1

分析 直接由數(shù)列遞推式分段求出數(shù)列的前幾項，可得數(shù)列{a_n}是周期為3的周期數(shù)列，則答案可求．

解答 解：由a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}（0≤{a}_{n}＜\frac{1}{2}）}\\{2{a}_{n}-1（\frac{1}{2}≤{a}_{n}＜1）}\end{array}\right.$，且a₁=$\frac{6}{7}$，得：
${a}_{2}=2{a}_{1}-1=2×\frac{6}{7}-1=\frac{5}{7}$，${a}_{3}=2{a}_{2}-1=2×\frac{5}{7}-1=\frac{3}{7}$，
${a}_{4}=2{a}_{3}=2×\frac{3}{7}=\frac{6}{7}$，${a}_{5}=2{a}_{4}-1=2×\frac{6}{7}-1=\frac{5}{7}$，…，
由上可知，數(shù)列{a_n}是周期為3的周期數(shù)列，
∴${a}_{2016}={a}_{3}=\frac{3}{7}$．
故答案為：$\frac{3}{7}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓(xùn)練了分段函數(shù)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．