已知函數(shù)f（x）定義域為R，且f（0）=1，對任意x，y∈R恒有f（x-y）=f（x）-
13
y2（2x-y+3），
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）若方程f（x）=a有三個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）令y=x，代入已知式子，變形可得f(x)=
1
3
x3+x2+1；
（2）因為方程f（x）=a有三個實數(shù)解，所以函數(shù)y=f（x）與y=a圖象有三個交點，求導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)x=-2時f（x）取極大值，f(x)極大值=
7
3
，當(dāng)x=0時，f（x）取極小值，f（x）極小值=1，進(jìn)而可得a的范圍．
解答：解：（1）因為f（0）=1，對任意x，y∈R恒有f(x-y)=f(x)-
1
3
y2(2x-y+3)，
∴令y=x，代入可得f(0)=f(x)-
1
3
x2(2x-x+3)，即f(x)=
1
3
x3+x2+1，
（2）因為方程f（x）=a有三個實數(shù)解，所以函數(shù)y=f（x）與y=a圖象有三個交點
又因為f′（x）=x2+2x=x（x+2），
當(dāng)x∈（-∞，-2）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（-2，0）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=-2時f（x）取極大值，f(x)極大值=
7
3
，
當(dāng)x=0時，f（x）取極小值，f（x）極小值=1，
∴1＜a＜
7
3
點評：本題考查函數(shù)的極值，涉及根的存在性即個數(shù)的判斷，屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在（-1，1）上，對于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)，且當(dāng)x＜0時，f（x）＞0．
（Ⅰ）驗證函數(shù)f(x)=ln
1-x
1+x
是否滿足這些條件；
（Ⅱ）判斷這樣的函數(shù)是否具有奇偶性和其單調(diào)性，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在R上，并且對于任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x≠y時，f（x）≠f（y），x＞0時，有f（x）＞0．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=1，解關(guān)于x的不等式f(x)-f(
1x-1
)≥2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•連云港二模）已知函數(shù)f（x）定義在正整數(shù)集上，且對于任意的正整數(shù)x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，則f（2009）=
4018
4018
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，f（
1
2
）=-1，且當(dāng)x，y∈（-1，1）時，恒有f（x）-f（y）=f（
x-y
1-xy
），又?jǐn)?shù)列{an}滿足：a1=
1
2
，an+1=
2an
1+
a
2
n
．
（I）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)；
（II）求f（an）關(guān)于n的函數(shù)解析式；
（III）令g（n）=f（an）且數(shù)列{an}滿足bn=
1
g(n)
，若對于任意n∈N+，都有b1+b2+…+bn＜t2-3t恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在R上，對任意的x∈R，f(x+1001)=
2
f(x)
+1
，已知f（11）=1，則f（2013）=
 
．

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