Question

已知函數(shù)f（x）=16lnx+x²-12x+11．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍．（注：）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義求出f（x）的定義域，并求出f′（x）=0時(shí)x的值，在定義域內(nèi)，利用x的值討論f′（x）的正負(fù)即可得到f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）根據(jù)第一問(wèn)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極大值為f（2）和極小值為f（4），然后算出f（8）大于f（Ⅱ），f（1）小于f（4）得到f（x）的三個(gè)單調(diào)區(qū)間（0，2），（2，4），（4，+∞）上，y=b與函數(shù)f（x）的圖象各有一個(gè)交點(diǎn)，即滿足f（4）＜b＜f（2），即可得到b的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=16lnx+x²-12x+11知，f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），
．
當(dāng)x∈（0，2）∪（4，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（2，4）時(shí)，f′（x）＜0．
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，2），（4，+∞），f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（2，4）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，4）上單調(diào)遞減，在（4，+∞）上單調(diào)遞增，
且當(dāng)x=2或x=4時(shí)，f′（x）=0，所以f（x）的極大值為f（2）=16ln2-9，極小值為f（4）=32ln2-21．
又因?yàn)閒（8）=48ln2-21＞16ln2-9=f（2），f（1）=0＜f（4），所以在f（x）的三個(gè)單調(diào)區(qū)間（0，2），（2，4），（4，+∞）上，直線y=b與y=f（x）的圖象各有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f（4）＜b＜f（2），
因此，b的取值范圍為（32ln2-21，16ln2-9）．
點(diǎn)評(píng)：本題要求學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會(huì)根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，是一道綜合題．