Question

已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4，直線l₁過定點A（1，0）．
（Ⅰ）若l₁與圓相切，求l₁的方程；
（Ⅱ）若l₁與圓相交于P，Q兩點，線段PQ的中點為M，又l₁與l₂：x+2y+2=0的交點為N，求證：AM•AN為定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由直線l₁與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，求得直線方程，注意分類討論；
（II）分別聯(lián)立相應方程，求得M，N的坐標，再求AM•AN．
解答：解：（Ⅰ）①若直線l₁的斜率不存在，即直線x=1，符合題意．（2分）
②若直線l₁斜率存在，設(shè)直線l₁為y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由題意知，圓心（3，4）到已知直線l₁的距離等于半徑2，
即解之得．
所求直線方程是x=1，3x-4y-3=0．（5分）
（Ⅱ）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設(shè)直線方程為kx-y-k=0
由得又直線CM與l₁垂直，
得．

∴AM*AN=為定值．（10分）
點評：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系以及直線與直線的交點和兩點間的距離公式．