(2012•成都模擬)已知m>1,直線l:x-my-
m2
2
=0,橢圓C:
x2
m2
+y2=1,F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點.
(I)當直線l過右焦點F2時,求直線l的方程;
(II)當直線l與橢圓C相離、相交時,求m的取值范圍;
(III)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點,△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G、H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.
分析:(I)寫出右焦點F2的坐標,代入直線l的方程,即可求得m值,從而得到l的方程,注意m范圍;
(II)直線與橢圓方程聯(lián)立消去x,得y的二次方程,由△<0得相離時m的范圍,由△>0得相交時m的范圍;
(III)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).根據(jù)(II)由判別式大于0求得m的范圍,且根據(jù)韋達定理表示出y1+y2和y1y2,根據(jù)
AG
=2
GO
,
BH
=
HO
,可知G(
x1
3
,
y1
3
),H(
x2
3
y2
3
),表示出|GH|2,設(shè)M是GH的中點,則可表示出M的坐標,進而根據(jù)2|MO|<|GH|整理可得x1x2+y1y2<0把x1x2和y1y2的表達式代入求得m的范圍,最后綜合可得答案.
解答:解:(Ⅰ)解:因為直線l:x-my-
m2
2
=0,經(jīng)過F2
m2-1
,0),
所以
m2-1
-
m2
2
=0,得m2=2,
又因為m>1,所以m=
2
,
故直線l的方程為x-
2
y-1=0.
(II)由
x-my-
m2
2
=0
x2
m2
+y2=1
消去x得2y2+my+
m2
4
-1=0,
由△=m2-8(
m2
4
-1)=-m2+8<0,得m<-2
2
,或m>2
2
,由△>0得-2
2
<m<2
2
,
所以當直線與橢圓相離時m的取值范圍是m<-2
2
,或m>2
2
;當直線與橢圓相交時m的取值范圍是-2
2
<m<2
2
;
(III)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
由(II)知,△=m2-8(
m2
4
-1)=-m2+8>0,得m2<8,且有y1+y2=-
m
2
,y1y2=
m2
8
-
1
2

由于F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),故O為F1F2的中點,
AG
=2
GO
,
BH
=
HO
,可知G(
x1
3
y1
3
),H(
x2
3
,
y2
3

|GH|2=
(x1-x2)2
9
+
(y1-y2)2
9

設(shè)M是GH的中點,則M(
x1+x2
6
,
y1+y2
6
),
由題意可知2|MO|<|GH|,即4[(
x1+x2
6
)2+(
y1+y2
6
)2
]<
(x1-x2)2
9
+
(y1-y2)2
9
,即x1x2+y1y2<0,
而x1x2+y1y2=(my1+
m2
2
)(my2+
m2
2
)+y1y2=(m2+1)(
m2
8
-
1
2
),
所以(
m2
8
-
1
2
)<0,即m2<4,
又因為m>1且△>0,
所以1<m<2.
點評:本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì),直線與橢圓,點與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.
練習冊系列答案
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(2012•成都模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=-
13
x3
+2ax2-3a2x+b(常數(shù)a,b滿足0<a<1,b∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
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(x-x0)2+(y-y0)2
<r}⊆A
,則稱A為一個開集,給出下列集合:
①{(x,y)|x2+y2=1};      
②{(x,y|x+y+2>0)};
③{(x,y)||x+y|≤6};     
{(x,y)|0<x2+(y-
2
)
2
<1}

其中是開集的是
②④
②④
.(請寫出所有符合條件的序號)

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(2012•成都模擬)向量
OA
=(2,0),
OB
=(2+2cosθ,2
3
+2sinθ)
,則向量
OA
OB
的夾角的范圍是( 。

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3
sinx,g(x)=cos(π+x)
,直線x=a與f(x),g(x)的圖象分別交于M,N兩點,則|MN|的最大值為(  )

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(2012•成都模擬)在銳角△ABC中,已知5
.
AC
.
BC
=4|
.
AC
|•|
.
BC
|,設(shè)
m
=(sinA,sinB),
n
=(cosB,-cosA)且
m
n
=
1
5

求:(1)sin(A+B)的值;(2)tanA的值.

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