Question

20．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直線A₁B上，P為AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：B₁C∥平面A₁PB；
（Ⅱ）若AD=$\sqrt{3}$，AB=BC=2，求直線A₁C與平面AA₁B₁B所成的角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AB₁與A₁B交于點(diǎn)E，則PE∥B₁C，由此能證明B₁C∥平面A₁PB；
（Ⅱ）由已知可得BC⊥平面A₁AB，則∠CA₁B為A₁C與平面AA₁B₁B所成的角，求解三角形得答案．

解答 （Ⅰ）證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
連接AB₁與A₁B交于點(diǎn)E，∴E為A₁B中點(diǎn)，
連接PE，∵P為AC的中點(diǎn)，∴PE∥B₁C
∵PE?A₁PB，B₁C?A₁PB，
∴B₁C∥平面A₁PB；
（Ⅱ）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 為直三棱柱，
∴A₁A⊥BC，
∵AD⊥平面A₁BC，∴AD⊥BC，
又A₁A∩AD=A，∴BC⊥平面A₁AB，
則∠CA₁B為A₁C與平面AA₁B₁B所成的角．
在Rt△ADB中，∵AB=2，AD=$\sqrt{3}$，∴BD=1，
∵Rt△A₁AB∽R(shí)t△ADB，∴$\frac{DB}{AB}=\frac{AB}{{A}_{1}B}$，則${A}_{1}B=\frac{A{B}^{2}}{DB}=\frac{{2}^{2}}{1}=4$．
在Rt△A₁BC中，tan∠CA₁B=$\frac{BC}{{A}_{1}B}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判斷，考查線面角的求法，注意空間思維能力的培養(yǎng)，是中檔題．