Question

11．設(shè)${（3x+\sqrt{x}）}^{n}$的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若M-N=240．
（1）求n；
（2）求展開(kāi)式中所有x的有理項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法及二項(xiàng)式系數(shù)和公式求出M、N列出方程求得n，
（2）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為0，2，4得答案．

解答 解：（1）令x=1，M=4ⁿ                              
二項(xiàng)系數(shù)之和為2ⁿ                            
所以4ⁿ-2ⁿ=240  得n=4，
（2）T_r+1=3^4-rC₄^rx${\;}^{4-\frac{r}{2}}$，0≤r≤4，所以r=0，2，4，
當(dāng)r=0時(shí)，T₁=3⁴C₄⁰x⁴=81x⁴，
當(dāng)r=2時(shí)，T₂=3²C₄²x³=54x³，
當(dāng)r=4時(shí)，T₁=3⁰C₄⁴x²=x²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查賦值法是求二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)和的方法；二項(xiàng)式系數(shù)和公式為2ⁿ；利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題．