在雙曲線4x2-y2=1的兩條漸近線上分別取點A和B，使得|OA|•|OB|=15，其中O為雙曲線的中心，則AB中點的軌跡方程是________．


分析：先由雙曲線方程4x2-y2=1求出它的漸近線方程，再根據(jù)漸近線方程設(shè)A（m，2m），B（n，-2n），由于|OA|•|OB|=15，
化得：m2n2=25，設(shè)AB中點M（x，y）利用職權(quán)中點坐標公式可得4x2-y2=4mn，從而消去mn即得所求的AB中點的軌跡方程．
解答：∵雙曲線4x2-y2=1，∴a2=，b2=1
∴漸近線y=2x，y=-2x，
設(shè)A（m，2m），B（n，-2n），由于|OA|•|OB|=15，
∴|OA|2•|OB|2=225，
∴（m2+4m2）（n2+4n2）=225
∴m2n2=25，
設(shè)AB中點M（x，y）
x=（m+n），y=m-n，
∴（2x）2-y2=（m+n）2-（m-n）2
4x2-y2=4mn
（4x2-y2）2=16m2n2=16×25，
∴4x2-y2=±20，即，
故答案為：．
點評：本小題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)、軌跡方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)P（a，b）（b≠0）是平面直角坐標系xOy中的點，l是經(jīng)過原點與點（1，b）的直線，記Q是直線l與拋物線x2=2py（p≠0）的異于原點的交點
（1）若a=1，b=2，p=2，求點Q的坐標
（2）若點P（a，b）（ab≠0）在橢圓
x2
4
+y2=1上，p=
1
2ab
，
求證：點Q落在雙曲線4x2-4y2=1上
（3）若動點P（a，b）滿足ab≠0，p=
1
2ab
，若點Q始終落在一條關(guān)于x軸對稱的拋物線上，試問動點P的軌跡落在哪種二次曲線上，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點和上頂點分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱這兩個橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1以拋物線y2=4
3
x的焦點為一個焦點，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為4．（1）若橢圓C2與橢圓C1相似，且相似比為2，求橢圓C2的方程．
（2）已知點P（m，n）（mn≠0）是橢圓C1上的任一點，若點Q是直線y=nx與拋物線x2=
1
mn
y異于原點的交點，證明點Q一定落在雙曲線4x2-4y2=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓為Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線Cb上，若存在求出函數(shù)f（b）=SABCD的解析式及定義域，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在雙曲線4x2-y2=1的兩條漸近線上分別取點A和B，使得|OA|•|OB|=15，其中O為雙曲線的中心，則AB中點的軌跡方程是
x2
5
-
y2
20
=±1
x2
5
-
y2
20
=±1
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年遼寧省大連市高三雙基測試數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

在雙曲線4x2-y2=1的兩條漸近線上分別取點A和B，使得|OA|•|OB|=15，其中O為雙曲線的中心，則AB中點的軌跡方程是    ．

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