Question

設P（a，b）（b≠0）是平面直角坐標系xOy中的點，l是經(jīng)過原點與點（1，b）的直線，記Q是直線l與拋物線x²=2py（p≠0）的異于原點的交點
（1）若a=1，b=2，p=2，求點Q的坐標
（2）若點P（a，b）（ab≠0）在橢圓

x2

4

+y²=1上，p=

1

2ab

，
求證：點Q落在雙曲線4x²-4y²=1上
（3）若動點P（a，b）滿足ab≠0，p=

1

2ab

，若點Q始終落在一條關(guān)于x軸對稱的拋物線上，試問動點P的軌跡落在哪種二次曲線上，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立姐方程求出交點坐標，
（2）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立求出交點Q的坐標；將P的坐標代入橢圓方程得到a，b滿足的關(guān)系，變形得到Q的坐標滿足雙曲線方程，證出點Q在雙曲線上．
（3）設出Q所在的拋物線方程，將Q的坐標代入得到a，b滿足的方程；通過對p，c的分類討論得到P所在的曲線．

解答：解：（1）當a=1，b=2，p=2時，
解方程組

x2=4y y=2x

得

x=8 y=16

即點Q的坐標為（8，16）（3分）
（2）證明：由方程組

x2= 1 ab y y=bx

得

x= 1 a y= b a

即點Q的坐標為(

1

a

，

b

a

)（5分）
∵P時橢圓上的點，即

a2

4

+b2=1
∴4(

1

a

)2-4(

b

a

)2=

4

a2

(1-b2)=1，
因此點Q落在雙曲線4x²-4y²=1上（8分）
（3）設Q所在的拋物線方程為y²=2q（x-c），q≠0（10分）
將Q(

1

a

，

b

a

)代入方程，得

b2

a2

=2q(

1

a

-c)，即b²=2qa-2qca²（12分）
當c=0時，b²=2qa，此時點P的軌跡落在拋物線上；
當qc=

1

2

時，(a-

1

2c

)2+b2=

1

4c2

，此時點P的軌跡落在圓上；
當qc＞0且qc≠

1

2

時，

(a- 1 2c )2

1 4c2

+

b2

q 2c

=1，此時點P的軌跡落在橢圓上；
當qc＜0時

(a- 1 2c )2

1 4c2

-

b2

(- q 2c )

=1，此時點P的軌跡落在雙曲線上；（16分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系常用的處理方法是將它們的方程聯(lián)立、判斷動點的軌跡常通過動點的方程來判斷．