Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為2

2

．斜率為k（k≠0）的直線l過橢圓的上焦點且與橢圓相交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點M（0，m）．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求m的取值范圍．
（3）試用m表示△MPQ的面積S，并求面積S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓的定義，利用橢圓上的點到兩個焦點的距離之和等于長軸長，就可求出a，再根據橢圓的離心率e=

c

a

，就可求出c值，再結合橢圓中a，b，c的關系式求出b值，就可得到橢圓方程．
（2）設出直線l的方程為y=kx+1，與橢圓方程聯立，解得P，Q兩點的橫坐標之和，縱坐標之和，進而可求線段PQ的垂直平分線方程，令x=0，把m用含k的式子表示，根據k的范圍求出m的范圍．
（3）y軸把△PQM分成了兩個三角形△PMF₁和△QMF₁，所以△PQM的面積就是△PMF₁和△QMF₁的面積之和，進而可用m表示△MPQ的面積S，再利用導數求出最大值即可．

解答：解：（1）∵橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為2

2

∴2a=2

2

，∴a=

2

∵橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0）的離心率為

2

2

∴

c

a

=

2

2

∴c=1
又∵a²=b²+c²，
∴b=1．
又斜率為k（k≠0）的直線l過橢圓的上焦點，即橢圓的焦點在Y軸上
∴所求橢圓方程為

y2

2

+x2=1…（4分）
（2）直線l的方程為y=kx+1
由

y=kx+1 y2 2 +x2=1

可得（k²+2）x²+2kx-1=0．
該方程的判別式△=8k²+8＞0恒成立．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=

-2k

k2+2

，x1x2=-

1

k2+2

…（5分）
∴y1+y2=k(x1+x2)+2=

4

k2+2

設線段PQ中點為N，則點N的坐標為(

-k

k2+2

，

2

k2+2

)…（6分）
∴線段PQ的垂直平分線方程為y=

2

k2+2

-

1

k

(x+

k

k2+2

）
令x=0，由題意m=

1

k2+2

…（7分）
又又k≠0，∴k²+2＞2，∴0＜

1

k2+2

＜

1

2

∴0＜m＜

1

2

…（8分）
（3）設橢圓上焦點為F，
∵y軸把△PQM分成了△PMF和△QMF，
∴S_△MPQ=S_△PMF+S_△QMF=

1

2

|FM||x₁|+

1

2

|FM||x₂|=

1

2

|FM|（|x₁|+|x₂|）
∵P，Q在y軸兩側，∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|
∴S△MPQ=

1

2

•|FM|•|x1-x2|
∵|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

8(k2+1) (k2+2)2

由m=

1

k2+2

，可得k2+2=

1

m

．
∴|x1-x2|=

8( 1 m -1) 1 m2

=

8m(1-m)

又∵|FM|=1-m，
∴S△MPQ=

1

2

(1-m)

8m(1-m)

=

2m(1-m)3

．
∴△MPQ的面積為

2

m(1-m)3

（0＜m＜

1

2

）．
設f（m）=m（1-m）³，則f'（m）=（1-m）²（1-4m）．
可知f（m）在區(qū)間(0，

1

4

)單調遞增，在區(qū)間(

1

4

，

1

2

)單調遞減．
∴f（m）=m（1-m）3有最大值f(

1

4

)=

27

256

此時△MPQ的面積為

2

×

27 256

=

3 6

16

∴△MPQ的面積有最大值

3 6

16

．

點評：本題重點考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓位置關系的判斷，以及韋達定理的應用，考查應用導數求最值，綜合性強，須認真分析，正確作答．