Question

(本小題滿分13分)
已知f(x)＝m^x(m為常數(shù)，m>0且m≠1).
設(shè)f(a₁)，f(a₂)，…，f(a_n)…(n∈N^?)是首項為m²，公比為m的等比數(shù)列.
(1)求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
(2)若b_n＝a_n·f(a_n)，且數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，當m＝2時，求S_n；
(3)若c_n＝f(a_n)lgf(a_n)，問是否存在m，使得數(shù)列{c_n}中每一項恒小于它后面的項？若存在，
求出m的范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：(1)由題意f(a_n)＝m²·m^n＋1，即ma_n，＝m^n＋1.
∴a_n＝n＋1，(2分)      ∴a_n＋1－a_n＝1，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列.(4分)
(2)由題意b_n＝a_nf(a_n)＝(n＋1)·m^n＋1，
當m＝2時，b_n＝(n＋1)·2^n＋1
∴S_n＝2·2²＋3·2³＋4·2⁴＋…＋(n＋1)·2^n＋1�、�(6分)
①式兩端同乘以2，得
2S_n＝2·2³＋3·2⁴＋4·2⁵＋…＋n·2^n＋1＋(n＋1)·2^n＋2�、�
②－①并整理，得

略