Question

【題目】已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于，直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn).

（Ⅰ）求拋物線(xiàn)的方程；

（Ⅱ）若、、三個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，求直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 或.

【解析】試題分析： 求出曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，即可算出拋物線(xiàn)方程設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，得，再結(jié)合，算出結(jié)果

解析：（Ⅰ）解由曲線(xiàn)，可得，所以曲線(xiàn)是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)，其中，故， 的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，因?yàn)閽佄锞�(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意知，得，所拋物線(xiàn)的方程為

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程得，消去得

，設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系得，

因?yàn)?/span>，故，得，由及，

解得或，代入，解得或

故的方程為或，化簡(jiǎn)得或

另解：如圖，由，可設(shè)，則

，因?yàn)?/span>，所以

解得， ，所以，在中，

，即（為直線(xiàn)的斜率），所以

直線(xiàn)的方程為，即，由于對(duì)稱(chēng)性知另一條直線(xiàn)的方程為.