Question

15．為了解某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量x（單位：萬(wàn)噸）對(duì)價(jià)格y（單位：千元/噸）和年利潤(rùn)z的影響，對(duì)近五年該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價(jià)格統(tǒng)計(jì)如表：

x	1	2	3	4	5
y	7.0	6.5	5.5	3.8	2.2

（1）求關(guān)于的線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（2）若每噸該農(nóng)產(chǎn)品的成本為2千元，假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品可全部賣出，預(yù)計(jì)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，年利潤(rùn)z取到最大值？（保留兩位小數(shù)）
$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}{y}_{i}）-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)回歸系數(shù)公式計(jì)算回歸系數(shù)，得出回歸方程；
（2）將利潤(rùn)z表示為x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出極大值點(diǎn)．

解答 解：（1）$\overline{x}=3$，$\overline{y}=5$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=62.7$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}=55$，
∴$\hat b=-1.23$，$\hat a=8.69$，
∴線性回歸方程為：$\hat y=8.69-1.23x$．
（2）年利潤(rùn)z=x（8.69-1.23x）-2x=-1.23x²+6.69x．
所以x=2.72時(shí)，年利潤(rùn)z最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的求解，函數(shù)的最值，屬于中檔題．