Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求證：f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）求f（x）在[1，e]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù)，只需要證明其導(dǎo)數(shù)大于0即可；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)先研究函數(shù)的單調(diào)性，確定極值，從而確定函數(shù)的最值，分類討論是解題的關(guān)鍵．
解答：證明：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²-2lnx，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，，
所以f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．          （5分）
（Ⅱ）解：，
當(dāng)x∈[1，e]，2x²-a∈[2-a，2e²-a]．
若a≤2，則當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f′（x）≥0，
所以f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
又f（1）=1，故函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為1．
若a≥2e²，則當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f′（x）≤0，
所以f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，
又f（e）=e²-a，所以f（x）在[1，e]上的最小值為e²-a．
若2＜a＜2e²，則當(dāng)時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）是增函數(shù)．
又，
所以f（x）在[1，e]上的最小值為．
綜上可知，當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）在[1，e]上的最小值為1；
當(dāng)2＜a＜2e²時(shí)，f（x）在[1，e]上的最小值為；
當(dāng)a≥2e²時(shí)，f（x）在[1，e]上的最小值為e²-a．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的最值．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性的定義要方便，但應(yīng)注意f′（x）＞0（或f′（x）＜0）僅是f（x）在某個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)（或減函數(shù)）的充分條件．