Question

已知平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是線段AD的中點．沿BD將△BCD翻折到△BC'D，使得平面BC'D⊥平面ABD．
（Ⅰ）求直線BD與平面BEC'所成角的正弦值；
（Ⅱ）求二面角D-BE-C'的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，
沿直線BD將△BCD翻折成△BC'D
可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，
即BC'²=C'D²+BD²，故CD⊥BD，C'D⊥BD．
∵平面BC'D⊥平面ABD，平面BC'D∩平面ABD=BD，C'D?平面BC'D，
∴C'D⊥平面ABD． …（4分）
如圖，以D為原點，建立空間直角坐標系D-xyz．
則D（0，0，0），A（8，6，0），B（8，0，0），C'（0，0，6）．
∵E是線段AD的中點，∴E（4，3，0），．
在平面BEC'中，，，
設平面BEC'法向量為，
∴，即，
令x=3，得y=4，z=4，故．
設直線BD與平面BEC'所成角為θ，則．
∴直線BD與平面BEC'所成角的正弦值為． …（9分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面BEC'的法向量為，而平面DBE的法向量為，
∴，
因為二面角D-BE-C'為銳角，
所以二面角D-BE-C'的余弦值為． …（12分）
分析：（Ⅰ）先證明C'D⊥平面ABD，以D為原點，建立空間直角坐標系D-xyz．推出點D、A、B、C'的坐標，求出，通過求出平面BEC'法向量為，利用求直線BD與平面BEC'所成角的正弦值；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）平面BEC'法向量為，以及平面DBE的法向量，通過，求二面角D-BE-C'的余弦值．
點評：本題是中檔題，考查直線與平面所成的角的求法，二面角的求法，正確建立空間直角坐標系求出平面的法向量是解題的關鍵，考查計算能力，空間想象能力．