Question

已知數(shù)列{a_n}（n∈N^*）是首項為1的等差數(shù)列，其公差d＞0，且a₃、a₇+2、3a₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求f（n）=

sn	(n+18)Sn+1

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由a₃、a₇+2、3a₉成等比數(shù)列求得d，再用等差數(shù)列通項公式求解
（2）由a_n求得s_n代入f（n），化簡再用雙勾函數(shù)求得最值

解答：解：（1）∵a₃、a₇+2、3a₉成等比數(shù)列
∴（a₇+2）²=a₃•3a₉
即：（a₁+6d+2）²=（a₁+2d）•3（a₁+8d）
解得：d=1
∴a_n=n；
（2）由（1）得sn=

n(n+1)

2

∴f（n）=

n(n+1) 2

(n+18)• (n+1)(n+2) 2

=

n

(n+18)(n+2)

=

1

n+ 36 n +20

≤

1

32

∴f（n）的最大值為

1

32

．

點評：本題主要考查等差數(shù)列通項公式和前n項和公式和函數(shù)思想．