Question

如圖，在長(zhǎng)方體中，AB=b，BC=c，CC₁=a，且a＞b＞c，求沿著長(zhǎng)方體表面A到C₁最短路線(xiàn)長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：求A點(diǎn)到C₁的最短距離，由兩點(diǎn)之間直線(xiàn)段最短，想到需要把長(zhǎng)方體剪開(kāi)再展開(kāi)，把A到C₁的最短距離轉(zhuǎn)化為求三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，根據(jù)實(shí)際圖形，應(yīng)該有三種展法，展開(kāi)后利用勾股定理求出每一種情況中AC₁的長(zhǎng)度，比較三個(gè)值的大小后即可得到結(jié)論．

解答： 解：長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面可有三種不同的方法展開(kāi)，如圖所示．
不妨設(shè)AB=a，AD=b，AA₁=c．
表面展開(kāi)后，依第一個(gè)圖形展開(kāi)，AC₁=

(b+c)2+a2

=

a2+b2+c2+2bc

．
依第二個(gè)圖形展開(kāi)，AC₁=

(a+b)2+c2

=

a2+b2+c2+2ab

．
依第三個(gè)圖形展開(kāi)，AC₁=

(a+c)2+b2

=

a2+b2+c2+2ac

．
∵a＞b＞c，
∴ab＞ac＞bc
∴A點(diǎn)沿長(zhǎng)方形表面到C₁的最短距離為

a2+b2+c2+2bc

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的距離，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答的關(guān)鍵是想到對(duì)長(zhǎng)方體的三種展法，是中檔題．