Question

7．已知橢圓C中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、對稱軸為y軸，且過點(diǎn)M（4，2），N（$\sqrt{6}$，3）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C上的任一點(diǎn)R（x₀，y₀），從原點(diǎn)O向圓R：（x-x₀）²+（y-y₀）²=8作兩條切線，分別交橢圓于P，Q，試探究OP²+OQ²是否為定值，若是，求出其值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0．m≠n），利用待定系數(shù)法能求出橢圓C的方程．
（2）當(dāng)直線不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），推導(dǎo)出${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}$=$\frac{24（1+{{k}_{1}}^{2}）}{1+2{k}_{1}}$，${{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=\frac{24（1+{{k}_{2}}^{2}）}{1+2{{k}_{2}}^{2}}$，由${k}_{1}{k}_{2}=-\frac{1}{2}$，求出OP²+OQ²是定值36．當(dāng)直線落在坐標(biāo)軸上時(shí)，由題意得OP²+OQ²=36．

解答 解：（1）∵橢圓C中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、對稱軸為y軸，且過點(diǎn)M（4，2），N（$\sqrt{6}$，3），
∴設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0．m≠n），
把M（4，2），N（$\sqrt{6}$，3）代入，得：
$\left\{\begin{array}{l}{16m+4n=1}\\{6m+9n=1}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{1}{24}$，n=$\frac{1}{12}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{24}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（2）OP²+OQ²是定值，定值為36，理由如下：
（i）當(dāng)直線ξ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{\frac{{x}^{2}}{24}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}=\frac{24}{1+2{{k}_{1}}^{2}}}\\{{{y}_{1}}^{2}=\frac{24{{k}_{1}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}}\end{array}\right.$，
∴${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}$=$\frac{24（1+{{k}_{1}}^{2}）}{1+2{k}_{1}}$，
同理，得${{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=\frac{24（1+{{k}_{2}}^{2}）}{1+2{{k}_{2}}^{2}}$，
∵${k}_{1}{k}_{2}=-\frac{1}{2}$，
∴OP²+OQ²=${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=$\frac{24（1+{{k}_{2}}^{2}）}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{24（1-\frac{1}{2{k}_{1}}）^{2}}{1+2（-\frac{1}{2{k}_{1}}）^{2}}$=$\frac{36+72{{k}_{1}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$=36．
∴OP²+OQ²是定值36．
（ii）當(dāng)直線落在坐標(biāo)軸上時(shí)，由題意得OP²+OQ²=36．
綜上，OP²+OQ²是定值，定值為36．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，直線與圓相切關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．