Question

14．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)，α∈（0，$\frac{π}{2}$）），以原點O為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．
（1）若直線l與曲線C有且僅有一個公共點M，求點M的直角坐標(biāo)；
（2）若直線l與曲線C相交于A，B兩點，線段AB的中點橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，求直線l的普通方程．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，代入可得C的直角坐標(biāo)方程．把直線l的參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$代入上式并整理得t²-6tcosα+5=0．令△=0，解出即可得出點M的直角坐標(biāo)．
（2）設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=6cosα．利用中點坐標(biāo)公式即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，代入可得C的直角坐標(biāo)方程為：x²-4x+y²=0，即（x-2）²+y²=4．
把直線l的參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$代入上式并整理得t²-6tcosα+5=0．
令△=（6cosα）²-20=0，解得$cosα=\frac{{\sqrt{5}}}{3}，sinα=\frac{2}{3}，t=\sqrt{5}$．
∴點M的直角坐標(biāo)為$（\frac{2}{3}，\frac{{2\sqrt{5}}}{3}）$．
（2）設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=6cosα．
線段AB的中點對應(yīng)的參數(shù)為${t_0}=\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}=3cosα$．
則$-1+3{cos^2}α=\frac{1}{2}$，解得$cosα=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，α=\frac{π}{4}$．
∴直線l的普通方程為x-y+1=0．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、中點坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．