Question

19．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}-2x+3（x≤1）\\ lnx（x＞1）\end{array}$，若方程f（x）=kx-$\frac{1}{2}$恰有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{e}}{e}$）．

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=kx-$\frac{1}{2}$，則g（x）過點（0，-$\frac{1}{2}$），作出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：設(shè)g（x）=kx-$\frac{1}{2}$，則g（x）過點（0，-$\frac{1}{2}$），
過點（1，0）和（0，-$\frac{1}{2}$）的直線的斜率k=$\frac{1}{2}$，此時函數(shù)f（x）與g（x）只有3個交點，
過點（0，-$\frac{1}{2}$）的直線與f（x）相切時，函數(shù)f（x）與g（x）只有3個交點，
設(shè)切點為（a，lna），則函數(shù)的導數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$，即切線斜率k=$\frac{1}{a}$，
則切線方程為y-lna=$\frac{1}{a}$（x-a）=$\frac{1}{a}$x-1，
即y=$\frac{1}{a}$x+lna-1，
∵y=kx+$\frac{1}{2}$，
∴l(xiāng)na-1=-$\frac{1}{2}$，得lna=$\frac{1}{2}$，a=$\sqrt{e}$，
此時k=$\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{e}}$=$\frac{\sqrt{e}}{e}$，
故要使程f（x）=kx-$\frac{1}{2}$恰有四個不相等的實數(shù)根，
則$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{e}}{e}$，
故答案為：（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{e}}{e}$）

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用條件轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，利用直線和曲線相切求出切線斜率以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．