Question

14．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PD=1，PD⊥面ABCD，E為棱BC的中點(diǎn)．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求異面直線PB和DE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由于PD⊥面ABCD，利用V_P-ABCD=$\frac{1}{3}•{S}_{正方形ABCD}•PD$，即可得出．
（2）如圖所示，取AD的中點(diǎn)F，連接BF，PF，可得四邊形BEDF是平行四邊形，于是∠PBE或其補(bǔ)角是異面直線PB和DE所成角．在△PBF中，由余弦定理可得．

解答 解：（1）∵PD⊥面ABCD，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}•{S}_{正方形ABCD}•PD$=$\frac{1}{3}×{2}^{2}×1$=$\frac{4}{3}$．
（2）如圖所示，取AD的中點(diǎn)F，連接BF，PF．
BE$\underset{∥}{=}$DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∴BF$\underset{∥}{=}$DE．
∴∠PBE或其補(bǔ)角是異面直線PB和DE所成角．
△PBF中，BF=$\sqrt{A{B}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，PF=$\sqrt{P{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{P{D}^{2}+D{B}^{2}}$=$\sqrt{1+（2\sqrt{2}）^{2}}$=3．
由余弦定理可得：cos∠PBF=$\frac{{3}^{2}+（\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}{2×3×\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的性質(zhì)定理、異面直線所成的角、三棱錐的體積計(jì)算公式、余弦定理、勾股定理，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．