Question

20.

    如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC₁F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC₁=3，BE=1.

   （Ⅰ）求BF的長；

   （Ⅱ）求點C到平面AEC₁F的距離.

Answer 1

20.本小題主要考查線面關(guān)系和空間距離的求法等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力.

解法1：（Ⅰ）過E作EH//BC交CC₁于H，則CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.

又∵AF∥EC₁，∴∠FAD=∠C₁EH.

∴Rt△ADF≌Rt△EHC₁.  ∴DF=C₁H=2.

（Ⅱ）延長C₁E與CB交于G，連AG，

則平面AEC₁F與平面ABCD相交于AG.

過C作CM⊥AG，垂足為M，連C₁M，

由三垂線定理可知AG⊥C₁M.由于AG⊥面C₁MC，且

AG面AEC₁F，所以平面AEC₁F⊥面C₁MC.在Rt△C₁CM中，作CQ⊥MC₁，垂足為Q，則CQ的長即為C到平面AEC₁F的距離.

解法2：（I）建立如圖所示的空間直角坐標系，則D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），

C（0，4，0），E（2，4，1），C₁（0，4，3）.設(shè)F（0，0，z）.

∵AEC₁F為平行四邊形，

（II）設(shè)為平面AEC₁F的法向量，

的夾角為a，則

∴C到平面AEC₁F的距離為