Question

17．若log₂（ax²-2x+2）＞2在x∈[1，2]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（4，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得ax²-2x-2＞0在x∈[1，2]上恒成立，即有$\frac{1}{2}$a＞（$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$）_max，由配方結(jié)合二次函數(shù)的最值求法可得最大值2，即可得到a的范圍．

解答 解：log₂（ax²-2x+2）＞2在x∈[1，2]上恒成立，即為
ax²-2x-2＞0在x∈[1，2]上恒成立，
即有$\frac{1}{2}$a＞（$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$）_max，
由$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，x∈[1，2]，即有$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，
可得x=1，即$\frac{1}{x}$=1，取得最大值2．
則$\frac{1}{2}$a＞2，解得a＞4．
故答案為：（4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和二次函數(shù)的最值的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．