Question

5．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+6）=f（x），當(dāng)3≤x≤9時(shí)，f（x）=3^-|x-m|+n，f（6）=111，
（I）求m、n的值：
（Ⅱ）當(dāng)0≤x₀≤6時(shí)，求滿足f（x₀）＞$\frac{331}{3}$的實(shí)數(shù)x₀的取值范圍：
（Ⅲ）比較f（log₃m）與f（log₃n）的大小．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=f（x+6），可知6是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期，則有f（3）=f（9）再由f（6）=111，組成方程組求解，可得m，n的值；
（2）運(yùn)用函數(shù)周期性求得x∈[-3，3]的函數(shù)的解析式，討論當(dāng)0≤x₀≤3時(shí)，當(dāng)3≤x₀≤6時(shí)，求得不等式的解集，即可得到所求范圍； 
（3）f（log₃m）=f（log₃6）=f（6+log₃6），f（log₃n）=f（log₃110），運(yùn)用已知解析式，代入再利用函數(shù)的單調(diào)性比較．

解答 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在R上滿足f（x）=f（x+6），
所以6是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期．
可得f（3）=f（9），即3^-|3-m|+n=3^-|9-m|+n，①
又f（6）=111，即3^-|6-m|+n=111，②
聯(lián)立①②組成方程組解得m=6，n=110；
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）=3^-|x-6|+110，x∈[3，9]．
當(dāng)-3≤x≤3，可得3≤x+6≤9，
即有f（x）=f（x+6）=3^-|x|+110，x∈[-3，3]，
當(dāng)0≤x₀≤3時(shí)，f（x₀）＞$\frac{331}{3}$即為3^-|x₀|+110＞$\frac{331}{3}$，
解得-1＜x₀＜1，即為0≤x₀＜1；
當(dāng)3≤x₀≤6時(shí)，f（x₀）＞$\frac{331}{3}$即為3^-|x₀-6|+110＞$\frac{331}{3}$，
解得-1＜x₀-6＜1，即5＜x₀＜7，即為5＜x₀≤6．
綜上可得，實(shí)數(shù)x₀的取值范圍是[0，1）∪（5，6]；
（3）f（log₃m）=f（log₃6）=f（6+log₃6），
由于7＜6+log₃6＜8，即有f（6+log₃6）=110+3^-log₃6，
由于4＜log₃110＜5，
則f（log₃n）=f（log₃110）=110+3^{-|log₃110-6|}，
=110+3^6-log₃110，
由-log₃6＜6-log₃110，
可得f（6+log₃6）＜f（log₃110），
即為f（log₃m）＜f（log₃n）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的周期性，單調(diào)性以及用方程思想的運(yùn)用，主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)算能力，屬于中檔題．