Question

18．某公司設(shè)計如圖所示的環(huán)狀綠化景觀帶，該景觀帶的內(nèi)圈由兩條平行線段（圖中的AB，DC）和兩個半圓構(gòu)成，設(shè)AB=xm，且x≥80．
（1）若內(nèi)圈周長為400m，則x取何值時，矩形ABCD的面積最大？
（2）若景觀帶的內(nèi)圈所圍成區(qū)域的面積為$\frac{22500}{π}$m²，則x取何值時，內(nèi)圈周長最��？

Answer 1

分析 （1）設(shè)半圓的半徑為r，可得x+πr=200，矩形ABCD的面積為S=2xr=$\frac{2}{π}$x•πr，運(yùn)用基本不等式即可得到所求最小值及x的值；
（2）設(shè)半圓的半徑為r，由題意可得2x=$\frac{22500}{πr}$-πr，即有內(nèi)圈周長c=2x+2πr=$\frac{22500}{πr}$+πr，由x≥80，求得r的范圍，設(shè)出f（r）=$\frac{22500}{πr}$+πr，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到所求最小值及x的值．

解答 解：（1）設(shè)半圓的半徑為r，
可得2x+2πr=400，即x+πr=200，
矩形ABCD的面積為S=2xr=$\frac{2}{π}$x•πr≤$\frac{2}{π}$•（$\frac{x+πr}{2}$）²=$\frac{20000}{π}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=πr=100m時，矩形的面積取得最大值$\frac{20000}{π}$m²；
（2）設(shè)半圓的半徑為r，
由題意可得πr²+2xr=$\frac{22500}{π}$，可得2x=$\frac{22500}{πr}$-πr，
即有內(nèi)圈周長c=2x+2πr=$\frac{22500}{πr}$+πr，
由x≥80，可得$\frac{22500}{πr}$-πr≥160，
解得0＜πr≤90，
可得f（r）=$\frac{22500}{πr}$+πr，f′（r）=π-$\frac{22500}{π{r}^{2}}$，
即有f（r）在（0，$\frac{90}{π}$]上遞減，
即有πr=90，即x=80m時，周長c取得最小值340m．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的應(yīng)用題的解法，考查最值的求法，注意運(yùn)用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性，正確理解題意和點(diǎn)到函數(shù)式是解題的關(guān)鍵．