(本題滿分14分) 已知F1、F2是橢圓的左、右焦點，A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點，點B也在橢圓上，且滿足（是坐標原點），,若橢圓的離心率等于.   
(Ⅰ)求直線AB的方程；
(Ⅱ)若三角形ABF2的面積等于4，求橢圓的方程；
（Ⅲ）在(Ⅱ)的條件下，橢圓上是否存在點M，使得三角形MAB的面積等于8.
(Ⅰ)
(Ⅱ)
（Ⅲ）橢圓上不存在點M使得三角形MAB的面積等于
本試題主要是考查了直線方程的求解，以及橢圓方程的求解和三角形面頰的綜合運用。
（1）根據(jù)已知的向量關系，直線過原點，并且向量的垂直關系可以得到點A的坐標，然后將點A的坐標代入橢圓方程中可知得到直線的方程。
（2）連結AF1、BF1、AF2、BF2，由橢圓的對稱性可知，參數(shù)a,bc的關系式，進而得到橢圓的方程。
（3）由于由(Ⅱ)可以求得|AB|=2|OA|
假設在橢圓上存在點M使得三角形MAB的面積等于8
設點M到直線AB的距離為d,則應有
利用三角形的面積公式得到。
解：(Ⅰ)由知，直線AB經(jīng)過原點，又由知，因為橢圓的離心率等于……2分
設A（），由知
∴A（）,代入橢圓方程得   ∴A（），故直線AB的斜率
因此直線AB的方程為……………4分
(Ⅱ)連結AF1、BF1、AF2、BF2，由橢圓的對稱性可知
，所以……………6分
又由解得  故橢圓方程為……………8分
（Ⅲ）由(Ⅱ)可以求得|AB|=2|OA|=2……………9分
假設在橢圓上存在點M使得三角形MAB的面積等于8
設點M到直線AB的距離為,則應有
∴……………10分
與AB平行且距離為4的直線為
消去x得      ……………13分
此方程無解故橢圓上不存在點M使得三角形MAB的面積等于……………14分
另解：設點P（4）為橢圓上任意一點
則P到直線的距離為
……………13分
故橢圓上不存在點M使得三角形MAB的面積等于……………14分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
如圖橢圓的右頂點是，上下兩個頂點分別為，四邊形是矩形（為原點），點分別為線段的中點．

（Ⅰ）證明：直線與直線的交點在橢圓上；
（Ⅱ）若過點的直線交橢圓于兩點，為關于軸的對稱點（不共線），
問：直線是否經(jīng)過軸上一定點，如果是，求這個定點的坐標，如果不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設F1、F2分別為橢圓＋＝1的左、右焦點，c＝，若直線x＝上存在點P，使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設直線與橢圓交于兩點.若原點在以線段為直徑的圓內(nèi),
求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

給出下列命題：
①已知橢圓兩焦點，則橢圓上存在六個不同點，使得△為直角三角形；
②已知直線過拋物線的焦點，且與這條拋物線交于兩點，則的最小值為2；
③若過雙曲線的一個焦點作它的一條漸近線的垂線，垂足為為坐標原點，則；
④根據(jù)氣象記錄，知道荊門和襄陽兩地一年中雨天所占的概率分別為20％和18％，兩地同時下雨的概率為12％，則荊門為雨天時，襄陽也為雨天的概率是60％.
其中正確命題的序號是(     )
A．①③④B．①②③C．③④D．①②④

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本題12分）已知橢圓的焦點是和，又過點．
(1)求橢圓的離心率；
(2)又設點在這個橢圓上，且，求的余弦的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設a，b為大于1的正數(shù)，并且，如果的最小值為m，則滿足的整點的個數(shù)為                                   （    ）
A．5B．7C．9D．11

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分）設橢圓: 過點（0，4），離心率為．
（1）求的方程；
（2）求過點（3，0）且斜率為的直線被所截線段的中點坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若焦點在軸上的橢圓的離心率為，則等于（   ）
A．B．C．D．

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