Question

若二項(xiàng)式（1+2x）ⁿ展開(kāi)式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：根據(jù)在（1+2x）ⁿ的展開(kāi)式中第六項(xiàng)與第七項(xiàng)的系數(shù)相等，得到C_n⁵2⁵=C_n⁶2⁶，得到n=8，寫(xiě)出二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)果．

解答：解：∵在（1+2x）ⁿ的展開(kāi)式中第六項(xiàng)與第七項(xiàng)的系數(shù)相等，
∴C_n⁵2⁵=C_n⁶2⁶，
∴n=8，
∴展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)：

C

4 8

(2x)4=1120x⁴．
二項(xiàng)式的展開(kāi)式的系數(shù)系數(shù)最大的項(xiàng)為第r項(xiàng)，
所以

Tr+1≥Tr Tr+1≥Tr+2

，即

C r 8 2r ≥C r-1 8 2r-1 C r 8 2r ≥C r+1 8 2r+1

，解得

r≤ 16 3 r≥ 15 3

，
所以r=5，
所以展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，本題解題的關(guān)鍵是正確利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，注意和組合數(shù)聯(lián)系，本題是中檔題．